美しき行列式たち, 最終回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今日はL字型の行列式を扱います. L字型と言えば, 第一回に紹介したL same (仮名)ですね. あれは簡単に証明できました. しかし, 今回の難易度はマックスですよっ♪ 18. L increasing power (仮名) L字型の行列式は美しいです. そして指数の部分が順々に増えていく感じの行列がこちら. 答えはの多項式, しかも積和となっています. という事は, この行列式=0の解は複素平面上…

美しき行列式たち, 第六回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, Cauchy, Hilbertという有名な数学者の名前の付いた行列の行列式を紹介します. 彼らは何を思い, この行列式を考えたのでしょうか. 16. Cauchy determinants かのCauchyの名を冠した行列の行列式. その分母は二重の差積(2つの数列が絡みあってる), 分子は各数列の差積の積になっています. 差積と言えば第一回のVandermonde determinantsで…

美しき行列式たち, 第五回, 連載の後半戦です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, 対角線要素に特徴のある行列式を4つ紹介します. 12. Almost one except for diagonal (仮名) 対角線を除く要素が全てである行列. 対角線をとしてもいいんですが, からの差をパラメータにした方が上のように式が美しくなります. 計算は下から行います. の時はが出てくるじゃないかって思うかもしれませんが, その時はとなります. 13. Tridiag…

美しき行列式たち, 第四回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, もともと要素にがいっぱいあり, かつ美しい行列式を紹介します. 式の美しさを楽しんで下さい. 10. Just polynomial (仮名) 要素にが多い行列式一発目は, 結果が単純な多項式になるものです. 実用上も重要で, 何かの機会にこの行列式を用いる場面があったんですが, どういう問題だったかは忘れました. 対角線上にが並び, その1つ上にが, 一番下の行にが並んでおり, 後はばっかり…

美しき行列式たち, 第三回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, 対角線によって縦縞がブツ切れてる行列式を紹介します. 6. Right ones (仮名) これは巡回はしてません. がズルズルとずれて行ってる感じです. そして, 右一列のが印象的です. 行列のサイズはです. (証明) とすると, 一行目と二行目でキャンセルしてになるので, 行列式はの因子を持つ. 同様に, について, ならば行目と行目が同じになるので, 行列式はの因子を持つ. 更に, この…

前回から始まった美しき行列式たち, 第二回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は巡回行列式(Circulant matrix)という行列を紹介します. 3. Circulant matrix 行列式=何かの積和となっています. この行列は正式名称です. まずは真ん中の式を見誤らないようにして下さい. どの行ものセットで, それが巡回しているんです. 右辺は1の全ての根についての積を取ります. (証明) をのn乗根, とする. すると, 固有値及び固有ベクトルは…

このタイトルで, 連載します. 7回書きます. 連日で更新しますので, 1週間まるまるお付き合い下さい. 全部で19個の行列式を紹介することを予定しており, 1回あたり2個か3個, 多くても4個ずつになります. タグは『行列式』をつけていきます. それでは, 行列式の美しい世界をご堪能下さい. 行列式の定義 行列式は次の式で定義されます. ここで, は対称群で, 和は置換全体に渡ります. という定義を見てもなかなか実際の計算はうまくいきませんよね. 実際の行列式の計算は, あ…