美しき行列式たち 〜 第五回

行列式

美しき行列式たち, 第五回, 連載の後半戦です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, 対角線要素に特徴のある行列式を4つ紹介します.

12. Almost one except for diagonal (仮名)

\begin{align} \left| \begin{array}{cccccc} 1+x_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+x_2 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+x_3 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+x_{n-1} & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+x_n \\ \end{array} \right| = \left(1+\sum_{k=1}^n{\frac{1}{x_k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}{x_k}\right) \end{align}
対角線を除く要素が全て1である行列. 対角線を\{x_1,x_2,\ldots,x_n\}としてもいいんですが, 1からの差をパラメータにした方が上のように式が美しくなります. 計算は下から行います.
\begin{align} V_n &= \left| \begin{array}{cccccc} 1+x_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1+x_2 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1+x_3 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+x_{n-1} & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1+x_n \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= \left| \begin{array}{cccccc} 1+x_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ 1 & 1+x_2 & 1 & \cdots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1+x_3 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 & 0 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+x_{n-1} & -x_{n-1} \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & x_n \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= x_n \left| \begin{array}{ccccc} 1+x_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+x_2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+x_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1+x_{n-1} \\ \end{array} \right| + x_{n-1} \left| \begin{array}{ccccc} 1+x_1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1+x_2 & 1 & \cdots & 1 \\ 1 & 1 & 1+x_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 1 & 1 & \cdots & 1 & 1 \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= x_n V_{n-1}+ x_{n-1} \left| \begin{array}{ccccc} x_1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & x_2 & 0 & \vdots & 1 \\ 0 & 0 & x_3 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 1 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= x_n V_{n-1}+\frac{1}{x_n}\prod_{k=1}^{n}{x_k} \nonumber \\ &= x_n \left(x_{n-1}V_{n-2} + \frac{1}{x_{n-1}}\prod_{k=1}^{n-1}{x_k}\right) +\frac{1}{x_n}\prod_{k=1}^{n}{x_k} \nonumber \\ &= x_n x_{n-1}V_{n-2} + \left(\frac{1}{x_{n-1}} +\frac{1}{x_n}\right)\prod_{k=1}^{n}{x_k} \nonumber \\ &\vdots \nonumber \\ &= x_n x_{n-1}\cdots x_2 V_1+ \left(\sum_{k=2}^n{\frac{1}{x_k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}{x_k}\right) \nonumber \\ &= \left(1+\sum_{k=1}^n{\frac{1}{x_k}}\right)\left(\prod_{k=1}^{n}{x_k}\right) \end{align}
x_i=0の時は1/0が出てくるじゃないかって思うかもしれませんが, その時は\prod_{1\le k \le n, k \ne i} x_kとなります.

13. Tridiagonal matrix

\begin{align} \left| \begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ b & a & b & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & b & a & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & b & a & b \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b & a \\ \end{array} \right| &= \prod_{k=1}^n{\left(a+2b\cos\frac{k\pi}{n+1}\right)} \end{align}
対角線とその上下に要素がある行列. サイズはn\times nです. 日本語では三重対角行列と言います. \cosがでてきてうぇっってなりますが, こういう積和は固有値と相場が決まってます.
(証明)
この行列の固有値と固有ベクトルは
\begin{align} \left( \begin{array}{cccccc} a & b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ b & a & b & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & b & a & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & b & 0 \\ 0 & 0 & \ddots & b & a & b \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & b & a \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c} \sin\frac{k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{2k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{3k\pi}{n+1} \\ \vdots \\ \sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{nk\pi}{n+1} \\ \end{array} \right) &= \left( \begin{array}{c} a\sin\frac{k\pi}{n+1} + b\sin\frac{2k\pi}{n+1} \\ b\sin\frac{k\pi}{n+1} + a\sin\frac{2k\pi}{n+1} + b\sin\frac{3k\pi}{n+1} \\ b\sin\frac{2k\pi}{n+1} + a\sin\frac{3k\pi}{n+1} + b\sin\frac{4k\pi}{n+1} \\ \vdots \\ b\sin\frac{(n-2)k\pi}{n+1} + a\sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1} + b\sin\frac{nk\pi}{n+1} \\ b\sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1} + a\sin\frac{nk\pi}{n+1} \\ \end{array} \right) \\ &= \left( \begin{array}{c} a\sin\frac{k\pi}{n+1} + 2b\sin\frac{k\pi}{n+1}\cos\frac{k\pi}{n+1} \\ a\sin\frac{2k\pi}{n+1} + 2b\sin\frac{2k\pi}{n+1}\cos\frac{k\pi}{n+1} \\ a\sin\frac{3k\pi}{n+1} + 2b\sin\frac{3k\pi}{n+1}\cos\frac{k\pi}{n+1} \\ \vdots \\ a\sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1} + 2b\sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1}\cos\frac{k\pi}{n+1} \\ a\sin\frac{nk\pi}{n+1} + 2b\sin\frac{nk\pi}{n+1}\cos\frac{k\pi}{n+1} \\ \end{array} \right) \\ &= \left(a+2b\cos\frac{k\pi}{n+1}\right) \left( \begin{array}{c} \sin\frac{k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{2k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{3k\pi}{n+1} \\ \vdots \\ \sin\frac{(n-1)k\pi}{n+1} \\ \sin\frac{nk\pi}{n+1} \\ \end{array} \right) \end{align}
のようになっている. [tex:i(1

14. Diagonal a others b (仮名)

\begin{align} \left| \begin{array}{cccccc} a & b & b & \cdots & b & b \\ b & a & b & \cdots & b & b \\ b & b & a & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b & b \\ b & b & \cdots & b & a & b \\ b & b & \cdots & b & b & a \\ \end{array} \right| = (a-b)^n+nb(a-b)^{n-1} \end{align}
対角線要素だけがaで, 他が全てbなもの. 先程のAlmost one except for diagonalから帰結できますが, これ単体で証明しておきます.
(証明)
\begin{eqnarray} V_n &=& \left| \begin{array}{cccccc} a & b & b & \cdots & b & b \\ b & a & b & \cdots & b & b \\ b & b & a & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & b & b \\ b & b & \cdots & b & a & b \\ b & b & \cdots & b & b & a \\ \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{cccccc} a & b & b & \cdots & b & b \\ b-a & a-b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ b-a & 0 & a-b & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ b-a & 0 & \cdots & 0 & a-b & 0 \\ b-a & 0 & \cdots & 0 & 0 & a-b \\ \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{cccccc} a+(n-1)b & b & b & \cdots & b & b \\ 0 & a-b & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-b & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & a-b & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & a-b \\ \end{array} \right| \\ &=& \left(a+(n-1)b\right) {(a-b)}^{n-1} \\ &=& (a-b) ^n + nb(a-b)^{n-1} \end{eqnarray}
(証明終)
こうなるともうすごく簡単で, 一行目をみんなから引いてあげて, 二列目以降を全て一列目に足す, という二段階で一気に求まります. 漸化式を使ってもいいですよ.

15. X (仮名)

\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} a & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & b \\ 0 & a & 0 & \cdots & \cdots & 0 & b & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & 0 & \vdots & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & a & b & 0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & b & a & 0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & 0 & \vdots & 0 & 0 & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & b & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a & 0 \\ b & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & a \\ \end{array} \right| = {(a^2-b^2)}^{\frac{n}{2}} \qquad ( n: \mathrm{even} ) \end{align}
\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} a & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & b \\ 0 & a & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & b & 0 \\ \vdots & 0 & \ddots & 0 & 0 & 0 & \vdots & 0 & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & a & 0 & b & 0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & 0 & a & 0 & 0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & 0 & b & 0 & a & 0 & \vdots & \vdots \\ \vdots & 0 & \vdots & 0 & 0 & 0 & \ddots & 0 & \vdots \\ 0 & b & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & a & 0 \\ b & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & a \\ \end{array} \right| = a{(a^2-b^2)}^{\frac{n-1}{2}} \qquad ( n: \mathrm{odd} ) \end{align}
X型の行列式. 真ん中でどのように交差するかで少し式が違ってきます. 最初の行と最後の行を展開して, 漸化式を作ります. 大きな目で三行三列と見做すのがコツです.
(証明)
\begin{align} V_n &= \left| \begin{array}{cccccc} a & 0 & \cdots & \cdots & 0 & b \\ 0 & a & 0 & 0 & b & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & b & 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{cccccc} a & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 & 0 & b & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & b & 0 & 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & a \\ \end{array} \right| + \left| \begin{array}{cccccc} 0 & 0 & \cdots & \cdots & 0 & b \\ 0 & a & 0 & 0 & b & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & b & 0 & 0 & a & 0 \\ b & 0 & \cdots & \cdots & 0 & 0 \\ \end{array} \right| \\ &= (a^2-b^2) V_{n-2} \\ &\vdots \\ &= \begin{cases} {(a^2-b^2)}^{\frac{n}{2}} & ( n: \mathrm{even} ) \\ a {(a^2-b^2)}^{\frac{n-1}{2}} & ( n: \mathrm{odd} ) \end{cases} \end{align}
(証明終)

今回は4つの行列式を見ました. レベル的にいうと, 前の2つが中級レベルで後の2つが初級レベルですね. Tridiagonal matrixは漸化式を立てだすとドツボにハマるかと... いや, 漸化式を立てる方法で一つの解が出てくるんですが, それを\cosの表現に帰着するのは中々無理だと思いますね. 不思議だなぁ. さてさて, 次回は某有名な二人の数学者が登場します. お楽しみに〜♪