2012-04-18 美しき行列式たち 〜 第四回 行列式 美しき行列式たち, 第四回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, もともと要素にがいっぱいあり, かつ美しい行列式を紹介します. 式の美しさを楽しんで下さい. 10. Just polynomial (仮名) 要素にが多い行列式一発目は, 結果が単純な多項式になるものです. 実用上も重要で, 何かの機会にこの行列式を用いる場面があったんですが, どういう問題だったかは忘れました. 対角線上にが並び, その1つ上にが, 一番下の行にが並んでおり, 後はばっかりです. (証明) (証明終) 右からどんどん足していくと, 下の行に多項式が積もっていって, 最後は左からにならないものをずーっと選んでいきます. 符号は割と真面目に考えないと出てきません. 回の置換と要素が個あってキャンセルしますね(行列のサイズがであることに注意). 11. Diagonal ones with wing (仮名) 対角線のの列と, 翼に見える最初の列と行が特徴的. しかも結果は二乗の和(つまりベクトルの長さの二乗)の符号を反転させたものという, これも中々美しいです. 証明も簡単です. (証明) (証明終) 今日はJust polynomial, Diagonal ones with wingの2つだけ紹介しました. が最初からいっぱいあるということで, 簡単なわけですが, 多項式とか距離だとか, 結果の美しさはこうでないと出て来ませんね... 次回は対角線の上の要素が特徴的な行列式を紹介します.