意外にも求められる定積分 - プログラムモグモグ

問題です. 次の積分を求めなさい.
$\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \frac 1 {1 + (\cos x)^x} dx$
とてもじゃないけど不定積分を求められそうにありません. だってcosのx乗ですよ?

仕方ないからWolframAlphaで確認しましょう → ここ
答えは $\frac \pi 2$ ですね. グラフを見たら気がついた人もいると思います. そうです. この被積分関数は $(0, 0.5)$ に関して点対称なのです.

軽く解答例

被積分関数から0.5を引いた関数を $h(x)$ とする.
$h(x)= \frac 1 {1 + (\cos x)^x} - \frac 1 2 = \frac {1 - (\cos x)^x}{2 + 2 (\cos x)^x}$
すると, この関数は奇関数である.
$\begin{eqnarray}h(-x) &=& \frac {1 - (\cos (-x))^{-x}}{2 + 2 (\cos (-x))^{-x}} \\ &=& \frac {1 - (\cos x)^{-x}}{2 + 2 (\cos x)^{-x}} \\ &=& \frac {(\cos x)^{x} - 1}{2 (\cos x)^{x} + 2} \\ &=& - h (x) \end{eqnarray}$
従って, 求める積分は
$\begin{eqnarray}\int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \frac 1 {1 + (\cos x)^x} dx &=& \int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \left(h(x) + \frac 1 2\right) dx \\&=& \int_{-\frac\pi 2}^{\frac\pi 2} \frac 1 2 dx \\&=& \frac \pi 2 \end{eqnarray}$
である.

一般化, 具体例

もっと一般化した式を書きましょう. 次の等式が成立します.
$\int_{-a}^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx = \int_0^a f_1(x) dx$
但し, $f_1(x)$ , $f_2(x)$ は偶関数, $g(x)$ は奇関数とします. 先程の例は $f_1(x)=1$ , $f_2(x)=\cos x$ , $g(x)=x$ でした. ちょっとだけ証明しておきます.

$\begin{eqnarray} \int_{-a}^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx &=& \int_{-a}^0 \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx + \int_0^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx \\ &=& \int_{a}^0 \frac {f_1(-t)} {1 \pm (f_2(-t))^{g(-t)}} (-dt) + \int_0^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx \\ &=& \int_0^a \frac {f_1(t)} {1 \pm (f_2(t))^{-g(t)}} dt + \int_0^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx \\ &=& \int_0^a \frac {f_1(t)\left[\pm (f_2(t))^{g(t)} \right]} {\pm (f_2(t))^{g(t)} + 1} dt + \int_0^a \frac {f_1(x)} {1 \pm (f_2(x))^{g(x)}} dx \\ &=& \int_0^a {f_1(x)} dx \end{eqnarray}$
区間を半分に割って, 左側を置換積分で右に倒す感じです. そんなに難しいものではありませんね.

この式に色々入れて遊んでみましょう.
$\int_{-a}^a \frac{x^2}{1 + e^x} = \int_0^a x^2 dx = \frac{a^3} 3$
$f_1(x)=x^2$ , $f_2(x)=e$ , $g(x)=x$ としてみました. なかなか, 知らなかったら難しいですね. 不定積分出せそうな感じがしますもん.

$\int_{-1}^1 \frac{x^2}{1 + (1-x^2)^x} = \int_0^1 x^2 dx = \frac 1 3$
$\int_{-5}^5 \frac{x^4}{1 + (x^2)^{(x^3)}} = \int_0^5 x^4 dx = 625$
$\int_{-1}^1 \frac{1}{1 + |x|^x} = \int_0^1 dx = 1$
$\int_{-1}^1 \frac{|x|}{1 + |x|^x} = \int_0^1 |x| dx = \frac 1 2$
いくらでも作れちゃいます.