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有限和と積分を繋ぐ不思議な式

雑記

Riemann積分はRiemann和の極限なのですが, 実は有限和とも何らかの関係があります. あるはずです. たぶん.

5つの不思議な式

以下に示す関係は, 全てk=a, a+1, \ldots, bに関する和と, a-1/2\le x \le b + 1 / 2に関する積分を繋ぐ式です.
\sum_{k=a}^b 1 = \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} 1 dx
\sum_{k=a}^b k = \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} x dx
\sum_{k=a}^b \alpha ^ k = \frac{\log\alpha}{\sqrt{\alpha}-\frac 1 {\sqrt{\alpha}}} \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} \alpha ^ x dx \qquad \left(\alpha \ne 1, \lim_{\alpha\to 1} \frac{\log\alpha}{\sqrt{\alpha}-\frac 1 {\sqrt{\alpha}}} = 1 \right)
\sum_{k=a}^b \sin(\alpha k+\beta) = \frac{\frac\alpha 2}{\sin\frac\alpha 2} \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} \sin(\alpha x + \beta) dx \qquad \left(\alpha \ne 0, \lim_{\alpha\to 0} \frac{\frac\alpha 2}{\sin \frac \alpha 2} = 1 \right)
\sum_{k=a}^b \cos(\alpha k+\beta) = \frac{\frac\alpha 2}{\sin\frac\alpha 2} \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} \cos(\alpha x + \beta) dx \qquad \left(\alpha \ne 0, \lim_{\alpha\to 0} \frac{\frac\alpha 2}{\sin \frac \alpha 2} = 1 \right)

これらは全て
\sum_{k=a}^b f (k) = \mu \int_{a-\frac 1 2}^{b+\frac 1 2} f(x) dx \qquad \left(\lim \mu = 1 \right)
という形となっています. \muは最初っから1となっているものもありますね. どの式も簡単に証明できるので, 証明は書きません. 三角関数のやつは積和の式を用いましょう.

不思議ですよね?

これ以外に似た式があるのか, よく分かりません. 最初の2つは面積的に考えて理解できるのですが, 後の3つの関係, 非常に面白いです. なにか見つけたらコメント下さい.