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xのxのxのxのxのxのxのxのxのx乗乗乗乗乗乗乗乗乗の謎

雑記

タイトルに括弧を付けるとすると,
(xの(xの(xの(xの(xの(xの(xの(xの(xのx乗)乗)乗)乗)乗)乗)乗)乗)乗)の謎
となります.


いきなりですが, 問題です.

問一

次の方程式をxについて解きなさい.
x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x\dots}}}}}}} = 2



ただし, 冪の記号は右結合するものとする.
x^{\left(x^{\left(x^{\left(x^{\left(x^{\left(x^{\left(x^{\left(x\dots\right)}\right)}\right)}\right)}\right)}\right)}\right)} = 2

解答

最初の冪の上側が2なので,
x^2 = 2 \quad \therefore \quad x = \sqrt 2
となる.

問二

次の方程式をxについて解きなさい.
x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x\dots}}}}}}} = 4

解答

最初の冪の上側が4なので,
x^4 = 4 \quad \therefore \quad x = \sqrt 2
となる.


... ... ... えっ???????

わけがわからないよ

まとめると,
\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2\dots}}}}}}} = 2
\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2^{\sqrt 2\dots}}}}}}} = 4
ってことですよね...


つまりどういうことだってばよ...

グラフを描いてみる

グラフにしてみました.

どうやら, x = \sqrt 2の時は2になるのが正解のようです.


なぜ ... = 4を解いても x = \sqrt 2が出てきたのかは, うーん, よく分かりません.


直感的に考えて,
x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x\dots}}}}}}}
は, 発散しそうです.
グラフを見ると, 1.5より大きい所では発散している様子です.

収束域

先ほどのグラフは,
f(x) = x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x
をプロットしたものなのですが,
f(x) = x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x ** x
をプロットすると,

となります.


このグラフからも分かるように, この関数の収束域は,
0 \le x \le e^{1/e}
です.
これより右側は, 発散してグラフが途切れています.
そして, 値域は
0 < y \le e
ですので,  y = 4の解は存在しないということになるんですね.



収束域の理由は,
x ^ y = y
を変形して
 x = y ^ {1 / y}
なので, 右辺の最大値を考えて
 x = y ^ {1 / y} \le e ^ {1 / e}
となるからです.


この変形が示唆するように, 先程= 4を解いてx = \sqrt 2が出てきたのは
 4 ^ {1 / 4} = \sqrt 2
となるからです.

このグラフから, x^{x^{x^{x^{x^{x^{x^{x\dots}}}}}}} = yが収束するとき, xe^{1/e}を, yeを超えないことが分かります.

まとめ

この問題は, かなり慎重に扱わなければいけない部分がある気がします.
単に, y = x ^ {1 / x}逆関数ですね, で済まされないような雰囲気ですね.