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美しすぎるハートの数式

雑記

バレンタインデーなどというイベントとは全く無縁の人間だが, Heart Curve -- from Wolfram MathWorldというページをぼんやり眺めていたら, 驚くべきほど美しいハートの数式を見つけてしまった.
(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3

更に, この関数はHeart Surface -- from Wolfram MathWorldの断面であるという記述があり, これも美しい数式か, と開いてみるも, こちらはさほど美しい式ではなかった.
\left(x^2+\frac 9 4 y^2 + z^2 - 1 \right)^3 = x^2z^3 + \frac 9 {80} y^2 z^3
ハートの形としては, 申し分の無い.



Heart Surfaceの方はともかく, Heart Curveの式は, これ以上ないほどシンプルだ.
(x^2+y^2-1)^3=x^2y^3

  • 場合分けがない
  • 多項式である
  • 次数が低い
  • 係数に数字がない
  • にも関わらず, ハートっぽい.

素晴らしい, の一言に尽きる.


皆さんが閉曲線を見たらせざるを得ないように, 私もこのハートの面積が気になったので, 求めようとした.
グラフを見るに, 面積は3以上4未満であると見当を付けておく.
この式は, yについて簡単に解くことができ,
y = \frac{x^{2/3}\pm\sqrt{x^{4/3}-4x^2+4}}{2}
となるので, ハートの面積は
2\int_0^{x_0} \sqrt{x^{4/3}-4x^2+4} dx,\quad {x_0}^{4/3}-4{x_0}^2+4=0
である.


しかし, ここで私は断念してしまった.
どうしてもこの後が計算出来ないのだ.
適当に変数変換したらいいのだろうか? 見当もつかない.
苦し紛れにも, 数値計算に頼って3.662くらいであることは分かった.
だれか, 解析的に求めることができたらコメントなりなんなりで, 教えてほしい.


さて, この美しい式はいつ発見されたのだろうか.
文献にあたっていたら, Eugen Beutelという人(1880-没年不詳?)が, 1909年に出版したAlgebraische Kurvenという本に載っているらしいということが分かった.
ドイツ語で書かれており, ISBN-10: 3111007146, ISBN-13: 978-3111007144, amazonのリンクは http://www.amazon.co.jp/dp/3111007146/ .
全てのページがThe University of Michigani Historical Mathematics Collectionによってスキャン, 無料で配布されており, Algebraische kurven, von Eugen Beutel.にて閲覧可能であった.
数分の格闘の後, ようやく, ハートの図を見つけることができた.
145ページ, なんと, この本のラストだったのだ. (一応リンクを貼っておく. このリンク先のpdfファイルの, 下の下の方である: Algebraische kurven, von Eugen Beutel.)


ドイツ語が分からないのが辛いが, 確かに冒頭の式と同じような式(x^2y^3に係数4があるだけ, これくらい無視してもハートに見えるということで, 誰かが改変したのだろう)が見えるのが分かる.
グラフも, y軸が下向きに取られていることに注意すれば, 同じ物である.
(Google translateにツッコんでやると, かなり読めた. ただ, やはり文脈がよく分からない. どういう意味で\lambda=4がgesuchteと言っているのだろうか... もうちょっとしっかり読んで見ることにする. → やっぱりよく分からなかった.)
ともかく, 100年も前の人が, 知っていたのだ.
(もしかしたら, Eulerは知っていたのかもしれない. ハートっていつからあるんだろう?)





数式の美しさは時代を超越し, 人々に感動を与える.
音楽や, 美術のように.
― そう, 数式は芸術なのである.



おまけ

ハートのような形になる数式は, Heart Curve -- from Wolfram MathWorldHeart Curveを見ていると, 愛の数ほど, いやまちがえた, 星の数ほどある事が分かる.
次の式も若干気になった.
x^2+\left(y-x^{2/3}\right)^2=1

これも最初の数式と同様, (展開したら) xとyの六次式である.
次数の点では劣っていないのだが, まぁ確かに項数が多くなるし, 美しいとはいえない.
やはり, 面積が気になることだろう.
このハートの面積を求めるのは, 小学生でもできるほど簡単なので, 読者へのバレンタインプレゼントとしよう.