単位ステップ関数のフーリエ変換

単位ステップ関数のフーリエ変換は, 非常に難しい. 今回はこれを考察してみよう. フーリエ変換は次の式で定義する.
\mathfrak F \left[f(t)\right] = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}dt



単位ステップ関数は次のように定義される.
u(t) = \begin{cases} 0 & t < 0 \\ 1 & t \le 0 \end{cases}
この関数の微分デルタ関数で与えられる.
\frac{d}{dt} u(t) = \delta(t)
これの両辺をフーリエ変換すると,
\mathfrak F \left[\frac d {dt} u(t) \right] = 1
よって, 公式
\mathfrak F \left[\frac d {dt} f(t) \right] = i \omega \mathfrak F \left[f(t)\right]
を用いると,
 i \omega \mathfrak F \left[u(t)\right] = 1
したがって,
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega}
となる.



ところで, 符号関数
\mathrm{sgn}(t) = \begin{cases} -1 & t < 0 \\ 0 & t = 0 \\ 1 & t \le 0 \end{cases}
と単位ステップ関数は,
u(t) = \frac{\mathrm{sgn}(t) + 1}{2} \quad(t \ne 0)
の関係がある. 更に,
\frac{d}{dt} \mathrm{sgn}(t) = 2\delta(t)
であるから,
\mathfrak F \left[\frac d {dt} \mathrm{sgn}(t) \right] = 2
である. 先程の公式を用いると,
 i \omega \mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] = 2
となって
 \mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] = \frac 2 {i \omega}
結果,
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \mathfrak F \left[\frac{\mathrm{sgn}(t)+1}{2}\right] = \frac 1 {i \omega} + \frac 1 2 \mathfrak F \left[1\right] = \frac 1 {i \omega} + \pi \delta(\omega)
すなわち,
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \pi \delta(\omega)
を得る.


先程は
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega}
であり, 今度は
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \pi \delta(\omega)
となった. どっちが正しいのであろう?
\mathfrak F\left[u(t)\right] = \frac{\mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] + 1}{2}
は採用したいので, 上のようにu(t)フーリエ変換が変わると, \mathrm{sgn}(t)フーリエ変換も変わってしまう.


結論を先に言ってしまうと, 後者が正しい.


直感的に行こう*1. u(t)は, 時間領域全体でみて, 直流成分1/2を持つ.
\lim_{T\to\infty}\int_{-T}^T \frac{u(t)}{2T} = \frac 1 2
直流成分1/2フーリエ変換すると,
\mathfrak F \left[\frac 1 2 \right] = \pi\delta(\omega)
である. よって
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \pi \delta(\omega)
のほうが正しい.


なるほど電気系の人には通じそうな, 尤もらしい解答. 直流成分があるからそれに相当するスペクトルが立つのだ. 同じように, \mathrm{sgn}(t)は直流成分を持たないから,
 \mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] = \frac 2 {i \omega}
のように, 直流に相当する2\pi\delta(\omega)の定数倍の項はつかないのも正当化される. 更に, \mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] = 0 \quad(\omega = 0) としておくのが自然だと分かる. また, \mathrm{sgn}(t)は奇関数であるから, そのフーリエ変換虚数部のみになるはずである.



もうちょっと数学的に行こう*2.
\mathfrak F \left[\frac d {dt} u(t) \right] = 1
まではよろしい. ここで, \omega \delta(\omega) = 0恒等式である. なぜなら, まず
\omega \delta(\omega) = 0 \quad (\omega \ne 0)
であり, 更に
\int_{-\alpha}^\alpha \omega \delta(\omega) d\omega = 0 \quad (\alpha > 0)
であるからである. よって,
\mathfrak F \left[\frac d {dt} u(t) \right] = 1 + k \omega \delta(\omega)
とも書ける. ここで, kは定数.
\mathfrak F \left[\frac d {dt} f(t) \right] = i \omega \mathfrak F \left[f(t)\right]
を用いると,
 i \omega \mathfrak F \left[u(t)\right] = 1  + k \omega \delta(\omega)
よって
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \frac{k}{i} \delta(\omega)
となる. ここで,
 \mathfrak F \left[u(t)+u(-t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \frac{k}{i} \delta(\omega) + \frac 1 {i(-\omega)} + \frac k i \delta(-\omega)
\delta(\omega)は偶関数なので,
 \mathfrak F \left[u(t)+u(-t)\right] = 2 \frac{k}{i} \delta(\omega) = \mathfrak F \left[1\right] = 2 \pi \delta(\omega)
より, k = i \piである. したがって,
 \mathfrak F \left[u(t)\right] = \frac 1 {i \omega} + \pi \delta(\omega)
を得る.


分かったような分からんようなだ. 狐につままれた気分. うーむ. u(t) + u(-t) = 1って使ってるけど, t=0のところでは大丈夫なんだろうかとか, 心配しだしたらキリがない. 更に,
\mathfrak F \left[\frac d {dt} f(t) \right] = i \omega \mathfrak F \left[f(t)\right]
u(t)に適用してもいいのかどうか, 分からない. おさらいのためこの式を導いておくと,
\mathfrak F \left[\frac d {dt} f(t)\right] = \int_{-\infty}^\infty \left(\frac d {dt} f(t)\right) e^{-i\omega t} dt = \left[f(t) e^{-i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} + i \omega \mathfrak F \left[f(t)\right]
ここで, はたと筆が止まる. そうだ, この第一項の収束が必要なのだ. あれ, じゃあこの公式ってu(t)とか\mathrm{sgn}(t)に使えるの?
\left[u(t) e^{-i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} = e^{-i \omega \infty}
収束しない.
\left[\mathrm{sgn}(t) e^{-i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} = e^{-i \omega \infty} + e^{i \omega \infty} = 2 \cos \omega \infty
収束しない.

(ノ∀`)アチャー


でもだ. 仮に, f(t)=1フーリエ変換2\pi\delta(\omega)になることを知ってる人間が, これを用いて0フーリエ変換をしたいとなったとしよう.
\mathfrak F \left[0\right] = \mathfrak F \left[\frac d {dt} 1\right] = \int_{-\infty}^\infty \left(\frac d {dt} 1\right) e^{-i\omega t} dt = \left[e^{-i \omega t} \right]_{-\infty}^{\infty} + i \omega \mathfrak F \left[1\right] = -2i\sin \omega \infty + i \omega 2 \pi \delta (\omega)
ここで, \omega\delta(\omega)=0であるから,
\mathfrak F \left[0\right]  =-2i\sin \omega \infty
だ. \mathfrak F \left[0\right]=0であるから, \sin \omega \infty = 0.


... という似非数学. 何かがオカシイ, オカシイ. 無限を甘く見て痛い目に遭っている.



しょうがないので, 関数の収束を使った計算を書いておく.
\mathrm{sgn}(t) = u(t) - u(-t)
であるが, これを
\mathrm{sgn}(t) = \lim_{a \to +0} \left[e^{-at} u(t) - e^{at} u(-t)\right]
とする.
\begin{eqnarray} \mathfrak F \left[\mathrm{sgn}(t)\right] &=& \mathfrak F \left[ \lim_{a \to +0} \left[e^{-at} u(t) - e^{at} u(-t)\right]\right] \\ &=& \lim_{a \to +0}\mathfrak F  \left[e^{-at} u(t) - e^{at} u(-t)\right] \\ &=& \lim_{a \to +0}\int_{-\infty}^\infty \left[e^{-at} u(t) - e^{at} u(-t)\right] e^{-i\omega t} dt \\ &=& \lim_{a \to +0} \left[ \int_0^\infty e^{-at} e^{-i \omega t} dt - \int_{-\infty}^0 e^{at} e^{-i\omega t} dt \right] \\ &=& \lim_{a \to +0} \left[ \frac{1}{a+i\omega} -  \frac{1}{a-i\omega}  \right] \\ &=& \lim_{a \to +0}  \frac{-2i\omega}{a^2+\omega^2} \\ &=& \frac{2}{i\omega} \end{eqnarray}
これによって\mathrm{sgn}(t)フーリエ変換が正当化される. a>0を取っておいてe^{\pm at}で抑えておけば, 広義積分がちゃんと収束するからハッピーだ. 更に, u(t)フーリエ変換はこの結果を用いれば良い. つまり, ダイレクトにやろうと思ったら,
 u(t) = \frac{ u(t) - u(-t) + 1}{2} \quad (t \ne 0)
であるから
 u(t) = \lim_{a \to +0} \left[\frac{ e^{-at} u(t) - e^{at} u(-t) + 1}{2}\right]
として, 同じように計算するのだ. 結局のところ, 直流成分を取り出しているに過ぎない.



うーん, フーリエ変換難しすぎる. まぁともかく, 「二重の無限和? 入れ替える! 極限と広義積分? 入れ替える!」 が工学部ジャスティス.