問題: 実数全体で定義される任意の関数は, 偶関数と奇関数の和で表せることを示せ.
解答: , を次のように定義する.
すると, であり, は偶関数, は奇関数である.
わりと長いこと気になってたけどなんてことなかった. 一意性もオーケー.
んあ, ちょっと待って. 一意性は危ういのが.
は, 偶関数でもあり奇関数でもある. 逆に, これに限る.
あ, そっか. 所詮0だから, 別に偶関数と奇関数の和の一意性は大丈夫なのね. 0(関数) = 0(偶関数) + 0(奇関数)だし.
どうでもいいんだけど, 「偶関数」はすぐ候補に出てくるのに, 「奇関数」ってなんで一発で変換できないんだろう.
参考URL
(たまにはこういうしょうもないことを書くのもいい)
[追記:date=2012/07/18]
一意性があるんだから, そういう分解を行うオペレーションを定義できる. 適当にとでも書いて, 偶奇分解と読もう.
複素関数に関するオイラーの公式も, 偶奇分解とも見れる.
一般に偶関数は
奇関数は
である.