読者です 読者をやめる 読者になる 読者になる

10!秒

雑記

階乗n!のおさらいをしましょう. 自然数nについて, 階乗を次のように定義します*1.
n! = n \times (n-1) \times \cdots 2 \times 1, \; 0! = 1
小さい方から並べると, 次のようになります.
0! = 1\\ 1! = 1\\ 2! = 2\\ 3! = 6\\ 4! = 24\\ 5! = 120\\ 6! = 720\\ 7! = 5040\\ 8! = 40320\\ 9! = 362880\\ 10! = 3628800\\ 11! = 39916800\\ 12! = 479001600\\ 13! = 6227020800\\ 14! = 87178291200\\ 15! = 1307674368000\\ 16! = 20922789888000\\ 17! = 355687428096000\\ 18! = 6402373705728000\\ 19! = 121645100408832000\\ 20! = 2432902008176640000
階乗はみるみるうちに大きくなっていきます.


10の階乗は,  10! = 3628800です.

ではタイトルの10!秒って大体何日くらいなんでしょうか. 順番に割っていきますと, 3628800秒 = 60480分 = 1008時間 = 42日 = 6週間... え...?

なんと驚くべきことに, 10の階乗秒は何の誤差もなくぴったり6週間になってます!!!


紙に書いてもう一度考えましょう.
 10! = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
です.  60を最初に出すと,
 10! = (10 \times 6) \times 9 \times 8 \times 7 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1
もう一個60を出しましょう.
 10! = (10 \times 6) \times (5 \times 4 \times 3) \times 9 \times 8 \times 7 \times 2 \times 1
そして, 24を前に出します.
 10! = (10 \times 6) \times (5 \times 4 \times 3) \times (3 \times 8) \times 3 \times 7 \times 2 \times 1
最後に一週間の7日を前に出します.
 10! = (10 \times 6) \times (5 \times 4 \times 3) \times (3 \times 8) \times 7 \times (3 \times 2 \times 1)
だから, 3628800秒というのは6週間ということですね.



他に似たような現象ないかなぁとか考えてみます. 例えば二重階乗*2がピッタリ○週間というのを探してみます. 定義は次のようになってます.
n!! = \begin{cases} n \times (n-2) \times \cdots \times 4 \times 2 & n: \mathrm{even} \\ n \times (n-2) \times \cdots \times 3 \times 1 & n: \mathrm{odd} \\ 1 & n = 0, -1\end{cases}
小さい方から行くと,
0!! = 0\\ 1!! = 1\\ 2!! = 2\\ 3!! = 3\\ 4!! = 8\\ 5!! = 15\\ 6!! = 48\\ 7!! = 105\\ 8!! = 384\\ 9!! = 945\\ 10!! = 3840\\ 11!! = 10395\\ 12!! = 46080\\ 13!! = 135135\\ 14!! = 645120\\ 15!! = 2027025\\ 16!! = 10321920\\ 17!! = 34459425\\ 18!! = 185794560\\ 19!! = 654729075\\ 20!! = 3715891200
という訳で, なんと20!!秒はぴったり6144週間になってます!!!!!!!

... とか言ってもあんまりインパクトないんですよねー...

冷静になって考えてみれば, こういうどんどん掛けていく系の数が, 何時か何かの整数倍になるのは直感的に当たり前ですし, あんまり大きな数で言ってもしょうが無いんですよね. だからこそ, 10!で6週間というのはインパクトが大きいんだと思います. 不思議ですね... 神様のイタズラでしょうか.


今後は, 「あーあと6週間で試験かー」っていうのを, 「まだ10の階乗秒もあるんじゃん(笑」と言うことにしましょう.




この記事はNumberphileが元ネタとなっています(http://www.numberphile.com/videos/10factorial.html). 最初に見た時は本当にびっくりしました.