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美しき行列式たち 〜 第四回

行列式

美しき行列式たち, 第四回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, もともと要素に0がいっぱいあり, かつ美しい行列式を紹介します. 式の美しさを楽しんで下さい.

10. Just polynomial (仮名)

\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} x & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & x & -1 \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2} & c_{n-1} & c_n \end{array} \right| = \sum_{k=0}^n c_k x^k \end{align}
要素に0が多い行列式一発目は, 結果が単純な多項式になるものです. 実用上も重要で, 何かの機会にこの行列式を用いる場面があったんですが, どういう問題だったかは忘れました. 対角線上にx_iが並び, その1つ上に-1が, 一番下の行にc_iが並んでおり, 後は0ばっかりです.
(証明)
\begin{align} \left| \left( a_{ij} \right) \right| &= \left| \begin{array}{ccccccc} x & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & x & -1 \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2} & c_{n-1} & c_n \end{array} \right|  \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & -1 \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2} & c_{n-1}+c_nx & c_n \end{array} \right|  \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & -1 \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3} & c_{n-2}+c_{n-1}x+c_nx^2 & c_{n-1}+c_nx & c_n \end{array} \right|  \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x & -1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & x & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & -1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 & -1 \\ c_0 & c_1 & \cdots & c_{n-3}+c_{n-2}x+c_{n-1}x^2+c_nx^3 & c_{n-2}+c_{n-1}x+c_nx^2 & c_{n-1}+c_nx & c_n \end{array} \right|  \\ &= \left| \begin{array}{cccccc} 0 & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -1 \\ {\displaystyle \sum_{k=0}^n c_k x^k} & {\displaystyle \sum_{k=1}^n c_k x^{k-1}} & \cdots & {\displaystyle \sum_{k=n-2}^n c_k x^{k-n+2}} & {\displaystyle \sum_{k=n-1}^n c_k x^{k-n+1}} & {\displaystyle \sum_{k=n}^n c_k x^{k-n}} \end{array} \right|\nonumber \\ &= \sum_{k=0}^n c_k x^k \qquad \end{align}
(証明終)
右からどんどん足していくと, 下の行に多項式が積もっていって, 最後は左から0にならないものをずーっと選んでいきます. 符号は割と真面目に考えないと出てきません. n回の置換と要素{-1}n個あってキャンセルしますね(行列のサイズがn+1であることに注意).

11. Diagonal ones with wing (仮名)

\begin{align} \left| \begin{array}{cccccc} 0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x_2 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ x_{n-1} & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ x_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| = -\sum_{k=1}^n {x_n}^2 \end{align}
対角線の1の列と, 翼に見える最初の列と行が特徴的. しかも結果は二乗の和(つまりベクトルの長さの二乗)の符号を反転させたものという, これも中々美しいです. 証明も簡単です.
(証明)
\begin{align} \left| \begin{array}{cccccc} 0 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x_2 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ x_{n-1} & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ x_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{cccccc} -{x_1}^2 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x_2 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ x_{n-1} & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ x_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= \left| \begin{array}{cccccc} -{x_1}^2-{x_2}^2 & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ x_3 & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ \vdots & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ x_n & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|\nonumber \\ \\ &\vdots \\ &= \left| \begin{array}{cccccc} {\displaystyle -\sum_{k=1}^n {x_n}^2} & x_1 & x_2 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \ddots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|\nonumber \\ &= -\sum_{k=1}^n {x_n}^2 \end{align}
(証明終)


今日はJust polynomial, Diagonal ones with wingの2つだけ紹介しました. 0が最初からいっぱいあるということで, 簡単なわけですが, 多項式とか距離だとか, 結果の美しさはこうでないと出て来ませんね... 次回は対角線の上の要素が特徴的な行列式を紹介します.