美しき行列式たち〜第三回 - プログラムモグモグ

美しき行列式たち, 第三回です. 連載にはタグ『行列式』をつけています. 今回は, 対角線によって縦縞がブツ切れてる行列式を紹介します.

6. Right ones (仮名)

$\begin{align} \left| \left(a_{ij}\right) \right| = \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & 1 \end{array} \right| = \prod_{k=1}^n \left(x_0-x_k\right) \end{align}$
これは巡回はしてません. $x_0$ がズルズルとずれて行ってる感じです. そして, 右一列の $1$ が印象的です. 行列のサイズは $n+1$ です.
(証明) $x_0=x_1$ とすると, 一行目と二行目でキャンセルして $0$ になるので, 行列式は $x_0-x_1$ の因子を持つ. 同様に, $1 \le i \le n$ について, $x_0=x_i$ ならば $i$ 行目と $i+1$ 行目が同じになるので, 行列式は $x_0-x_i$ の因子を持つ.
$\begin{align} \left| \left(a_{ij}\right) \right| = A \prod_{k=1}^n \left(x_0-x_k\right) \end{align}$
更に, この行列式は $n$ 次式であり, かつ ${x_0}^n$ の係数は $1$ なので, $A=1$ . (証明終)
この証明, Vandermonde determinants同様, 短くて美しいです. ですが, この方法に気が付かなかったらどうしましょう. 素直に順番に小さくして行っても証明できるんですよ.
$\begin{eqnarray} V_n &=& \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & 1 \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_n-x_0 & 0 \end{array} \right| \\ &=& (x_0 - x_n) V_{n-1} \\ &=& (x_0 - x_n) (x_0 - x_{n-1}) V_{n-2} \\ &\vdots \\ &=& \prod_{k=1}^n \left(x_0-x_k\right) \end{eqnarray}$

7. Diagonal shift (仮名)

$\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n & x_0 \\ \end{array} \right| = \left( \sum_{k=0}^n x_k \right) \left( \prod_{k=1}^n \left(x_0-x_k\right)\right ) \end{align}$
Right onesと形が似てる行列式です. 竹を切って少しずらした, みたいなそんな感じです. 計算は下から行います(好みの問題ですが).
(証明)
$\begin{eqnarray} V_n &=& \left| \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & x_0 \\ \end{array} \right| \\ &=& \left| \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & x_n \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_n - x_0 & x_0 - x_n \\ \end{array} \right| \\ &=& (x_0 - x_n) \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 \\ \end{array} \right| - (x_n - x_0) \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ \end{array} \right| \\ &=& (x_0 - x_n) V_{n-1} + (x_0 - x_n) \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 - x_1 & x_1 - x_2 & x_2 - x_3 & x_3 - x_4 & \cdots & 0 \\ 0 & x_0 - x_2 & x_2 - x_3 & x_3 - x_4 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x_0 - x_3 & x_3 - x_4 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x_0 - x_4 & \cdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \cdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & x_0-x_{n-1} & 0 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ \end{array} \right| \\ &=& (x_0 - x_n) V_{n-1} + x_n \prod_{k=1}^n (x_0 - x_k) \\ &=& (x_0 - x_n) \left((x_0-x_{n-1})V_{n-2}+x_{n-1}\prod_{k=1}^{n-1}(x_0-x_k)\right) + x_n \prod_{k=1}^n (x_0 - x_k) \\ &=& (x_0 - x_n) (x_0-x_{n-1})V_{n-2} + (x_n+x_{n-1}) \prod_{k=1}^n (x_0 - x_k) \\ &\vdots& \\ &=& (x_0 - x_n) (x_0 - x_{n-1})\cdots (x_0-x_1) x_0 + \left(\sum_{k=1}^n x_k\right) \left(\prod_{k=1}^n (x_0 - x_k)\right) \qquad \qquad \left( V_1 = x_0 \right) \\ &=& \left(\sum_{k=0}^n x_k\right) \left(\prod_{k=1}^n (x_0 - x_k)\right) \end{eqnarray}$
(証明終)
この式の証明に, 簡単な方法があるかどうかは知りません. 右の積和の部分は直ぐ分かるんですが, 後をどうするかが問題です.

8. Diagonal no-shift (仮名)

$\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_0 & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_0 \\ \end{array} \right| = \left(1+\sum_{k=1}^n \frac{x_k}{x_0-x_k}\right) \left(\prod_{k=1}^n (x_0-x_k)\right) \end{align}$
先程はずらしましたが, こちらはずらさずに, 対角線上が全て同じ値という形. 先程のDiagonal shiftと同じ積和が出てきて面白いです.
(証明)
$\begin{align} \left| \left(a_{ij}\right) \right| &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_0 & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_0 \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1-x_0 & x_0-x_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x_1-x_0 & 0 & x_0-x_3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ x_1-x_0 & 0 & 0 & x_0-x_4 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 \\ x_1-x_0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_0-x_{n-1} & 0 \\ x_1-x_0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_0-x_n \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0+\sum_{k=2}^nx_k\frac{x_0-x_1}{x_0-x_k} & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ 0 & x_0-x_2 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_0-x_3 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x_0-x_4 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_0-x_{n-1} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_0-x_n \\ \end{array} \right| \\ &= \left(x_0+\sum_{k=2}^nx_k\frac{x_0-x_1}{x_0-x_k}\right) \left(\prod_{k=2}^n(x_0-x_k)\right) \\ &= \left(\frac{x_0}{x_0-x_1}+\sum_{k=2}^n\frac{x_k}{x_0-x_k}\right) \left(\prod_{k=1}^n(x_0-x_k)\right) \\ &= \left(1+\sum_{k=1}^n\frac{x_k}{x_0-x_k}\right) \left(\prod_{k=1}^n(x_0-x_k)\right) \end{align}$
(証明終)

9. Diagonal addition (仮名)

$\begin{align} \left| \begin{array}{ccccccc} x_0+x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0+x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0+x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0+x_4 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_0+x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_0+x_n \\ \end{array} \right| = {x_0}^{n-1} \sum_{k=0}^n x_k \end{align}$
こちらもずらさずに, 対角線上に一定の値を足した形.
(証明)
$\begin{align} \left| \left(a_{ij}\right) \right| &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0+x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0+x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0+x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0+x_4 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_0+x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_0+x_n \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0+x_1 & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ -x_0 & x_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -x_0 & 0 & x_0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ -x_0 & 0 & 0 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 \\ -x_0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_0 & 0 \\ -x_0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_0 \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{ccccccc} x_0+x_1+x_2+x_3+\cdots +x_n & x_2 & x_3 & x_4 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ 0 & x_0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x_0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & x_0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & x_0 \\ \end{array} \right| \\ &= \left( \sum_{k=0}^n x_k \right) {x_0}^{n-1} \end{align}$
(証明終)
まず最初に一行目を全ての行から引き, 次は一列目にそれ以外の列を足します. 対角線の要素を掛けて終わりです.

Right ones, Diagonal shift, Diagonal no-shift, Diagonal additionの4つお送りしました. いかがでしたか. こういうものはキリがなくて, 自分で新しい形の行列式を考えてみて計算してみるのも楽しいですよ. このタイプの行列式のいいところは, 縦に同じ物がいっぱい並ぶため, 一行目を他の行から引くことでいっぱい $0$ が出てくることですね. 明日は, もとから $0$ がいっぱいある行列式を紹介します.

追記 [date=2012/04/18]

nolimbreさんにコメントを頂きました. ありがとうございます.

まず, Diagonal shiftの証明.
$\begin{align} \left|\left(a_{ij}\right)\right| &= \left| \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & x_n \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & x_0 \\ \end{array} \right| \\ &= \left| \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & \sum_{k=0}^nx_k \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & \sum_{k=0}^nx_k \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & \sum_{k=0}^nx_k \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & \sum_{k=0}^nx_k \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & \sum_{k=0}^nx_k \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & \sum_{k=0}^nx_k \\ \end{array} \right| \\ &= \left(\sum_{k=0}^nx_k\right) \left| \begin{array}{cccccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_0 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_0 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & x_0 & \cdots & \vdots & \vdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & x_{n-1} & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_0 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3 & \cdots & x_{n-1} & x_n & 1 \\ \end{array} \right| \\ &= \left(\sum_{k=0}^n x_k\right) \left(\prod_{k=1}^n (x_0 - x_k)\right) \end{align}$
$1\sim n$ 列を全て $n$ 列目に足すことで, その列が全て同じ値となり, 前に出せます. そうすると残った行列はまさにRight onesそのものです. 気が付きませんでした.

次は, Diagonal additionの方.
$x_0=0$ とすると, rankが1の行列となる. よって ${x_0}^{n-1}$ を因数として持つ.
$\left| \left(a_{ij}\right) \right| = A{x_0}^{n-1}$
この行列は $n$ 次式なので, $A$ は一次式である. ${x_0}^n$ の係数が $1$ , ${x_0}^{n-1}$ の係数(というより, それに掛かるもの)は $\sum_{k=1}^{n}x_k$ なので, $A=x_0+\sum_{k=1}^{n}x_k$ となる.

なるほどー!!!ですね. nolimbreさん, ありがとうございました.