2行2列の行列のn乗

雑記

行列のn乗を求める問題というのは, 大学入試で頻出問題です. 大学に入った後も, n乗を求めたくなる場面がちょくちょくあり, そのたびに面倒くさいなあと思ってしまいます. 例えば連立漸化式を立てて求めたい時に, n乗をちゃちゃっと求めたくなるんですよ. ここでは2行2列の行列に限った上で, 一般的なn乗の式を紹介し, それを導出してみましょう.

定理

2行2列の行列A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)に対して, そのn乗は次の式で与えられる.
A ^ n = \begin{cases} \alpha ^ n \frac{A - \beta E}{\alpha - \beta} + \beta ^ n \frac{A - \alpha E}{\beta - \alpha} & (\alpha \ne \beta) \\ \alpha ^ {n-1} \left( n A - \alpha (n - 1) E \right) & (\alpha = \beta) \end{cases}
但し, E = \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right), \alpha, \betaは固有値である.

導出

固有ベクトルをそれぞれ\mathbf{\lambda_\alpha}, \mathbf{\lambda_\beta}とする.
\begin{cases} A \mathbf{\lambda_\alpha} = \alpha \mathbf{\lambda_\alpha} \\ A \mathbf{\lambda_\beta} = \beta \mathbf{\lambda_\beta} \end{cases}
n乗して
\begin{cases} A ^ n \mathbf{\lambda_\alpha} = \alpha^n \mathbf{\lambda_\alpha} \\ A^n \mathbf{\lambda_\beta} = \beta^n \mathbf{\lambda_\beta} \end{cases}
固有ベクトルを成分で表すと
\mathbf{\lambda_\alpha} = \left( \begin{array}{c} b \\ \alpha - a \end{array} \right), \qquad \mathbf{\lambda_\beta} = \left( \begin{array}{c} b \\ \beta - a \end{array} \right)
である. よって
\begin{cases} A ^ n \left( \begin{array}{c} b \\ \alpha - a \end{array} \right) = \alpha^n \left( \begin{array}{c} b \\ \alpha - a \end{array} \right) \\ A^n \left( \begin{array}{c} b \\ \beta - a \end{array} \right) = \beta^n \left( \begin{array}{c} b \\ \beta - a \end{array} \right) \end{cases}
である. 横に並べると
A ^ n \left( \begin{array}{cc} b & b \\ \alpha - a & \beta - a \end{array} \right) = \left( \begin{array}{cc} b & b \\ \alpha - a & \beta - a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \alpha ^ n & 0 \\ 0 & \beta ^ n & \end{array} \right)
逆行列を右から掛けて
\begin{eqnarray} A ^ n &=& \frac {1}{ b (\beta - \alpha)} \left( \begin{array}{cc} b & b \\ \alpha - a & \beta - a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \alpha ^ n & 0 \\ 0 & \beta ^ n & \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \beta - a & - b \\ - \alpha + a & b \end{array} \right) \\ &=& \frac {\alpha ^ n}{ b (\beta - \alpha)} \left( \begin{array}{cc} b & 0 \\ \alpha - a & 0 \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \beta - a & - b \\ - \alpha + a & b \end{array} \right) + \frac {\beta ^ n}{ b (\beta - \alpha)} \left( \begin{array}{cc} 0 & b \\ 0 & \beta - a \end{array} \right) \left( \begin{array}{cc} \beta - a & - b \\ - \alpha + a & b \end{array} \right) \\ &=& \frac {\alpha ^ n}{ b (\beta - \alpha)} \left( \begin{array}{cc} b (\beta - a) & -b^2 \\ (\alpha - a)(\beta - a) & -b (\alpha - a) \end{array} \right) + \frac {\beta ^ n}{ b (\beta - \alpha)} \left( \begin{array}{cc} b (-\alpha + a) & b^2 \\ -(\beta - a) (\alpha - a) & b(\beta - a) \end{array} \right) \\ &=& \frac {\alpha ^ n}{ \beta - \alpha} \left( \begin{array}{cc} \beta - a & -b \\ -c & - (\alpha - a) \end{array} \right) + \frac {\beta ^ n}{ \beta - \alpha} \left( \begin{array}{cc} -\alpha + a & b \\ c & \beta - a \end{array} \right) \qquad \left( (\alpha - a) (\beta - a) = - bc\right) \\ &=& \frac {\alpha ^ n}{ \beta - \alpha} \left( \begin{array}{cc} \beta - a & -b \\ -c & - d + \beta \end{array} \right) + \frac {\beta ^ n}{ \beta - \alpha} \left( \begin{array}{cc} -\alpha + a & b \\ c & d - \alpha \end{array} \right) \qquad \left( \alpha - a = d - \beta, \quad \beta - a = d - \alpha \right) \\ &=& \frac {\alpha ^ n}{\alpha - \beta} \left( A - \beta E \right) + \frac {\beta ^ n}{\beta - \alpha} \left( A - \alpha E \right) \end{eqnarray}
一般式を得ることができた.
A ^ n = \alpha ^ n \frac{A - \beta E}{\alpha - \beta} + \beta ^ n \frac{A - \alpha E}{\beta - \alpha}

さて, 固有値が重解である場合は,
(A - \alpha E) ^ 2 = O
となる. このことと二項定理より
\begin{eqnarray} A^n &=& (A - \alpha E + \alpha E) ^ n \\ &=& (\alpha E )^n + n (A - \alpha E) (\alpha E) ^ {n - 1} \\ &=& \alpha ^ {n-1} \left(\alpha E + n A - n \alpha E \right) \end{eqnarray}
となる.

極限

固有値が異なる場合の公式を, 固有値を他方に近づけると, 固有値が一致する場合の解を得ることができます.
\begin{eqnarray} \lim_{\beta \to \alpha} \left( \alpha ^ n \frac{A - \beta E}{\alpha - \beta} + \beta ^ n \frac{A - \alpha E}{\beta - \alpha} \right) &=& \lim_{\beta \to \alpha} \frac{(\alpha ^ n - \beta ^ n) A - \alpha \beta (\alpha ^ {n-1} - \beta ^ {n-1}) E} {\alpha - \beta} \\ &=& n \alpha ^ {n-1} A - \alpha \alpha (n-1) \alpha ^ {n-2} E \\ &=& \alpha ^ {n-1} \left( nA - \alpha (n-1) E\right) \end{eqnarray}

a, b, c, dで表すと...

めんどくさがり屋にとっては, 固有値を求めるのすら面倒くさいという話です. ならばそれらをa, b, c, dで表してしまえばいいですね. 簡単な話です.
{\left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)} ^ n = \begin{cases} \frac{1}{\sqrt{(a-d)^2+4bc}} {\left( \begin{array}{cc} (a-\beta) {{\alpha} ^ n} - (a-\alpha) {{\beta} ^ n} & b \left( {{\alpha} ^ n} - {{\beta} ^ n} \right) \\ c \left( {{\alpha} ^ n}- {{\beta} ^ n} \right) & (d-\beta) { {\alpha} ^ n} - (d-\alpha) {{\beta} ^ n} \end{array} \right)} & ((a-d)^2+4bc \ne 0) \\ {\left( \frac{a+d}{2} \right)} ^ {n-1} { {\left( \begin{array}{cc} \frac{a(n+1)-d(n-1)}{2} & bn \\ cn & \frac{-a(n-1)+d(n+1)}{2} \end{array} \right)} } & ((a-d)^2+4bc = 0) \end{cases}
全て展開すると,

んあー... あってるのかなあこれ...??? ココまで展開すると逆に覚えられなくなりますね. 最初の公式のほうが分かりやすいですよね.

簡単な行列

具体的に何かを入れて見て, 公式があっているかどうか確かめてみましょう.
{\left( \begin{array}{cc} \alpha & 0 \\ 0 & \beta \end{array} \right)}^n = \left( \begin{array}{cc} \alpha^n & 0 \\ 0 & \beta^n \end{array} \right)
固有値がそのまま行列に出ている形. 実際に一般式に代入し, 簡約してこの形になることを確かめて下さい.

{\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \right)}^n = \left( \begin{array}{cc} 1 & n \\ 0 & 1 \end{array} \right)
固有値が重解1となるパターンです. 場合分けの下の方に代入して確かめて下さい.

{\left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array} \right)}^n = {\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{\sqrt{5}} \left( {\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)} ^ {n+1} - {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)} ^ {n+1} \right) & \frac{1}{\sqrt{5}} \left({\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)} ^ n - {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)} ^ n \right) \\ \frac{1}{\sqrt{5}} \left( {\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)} ^ n - {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)} ^ n \right) & \frac{1}{\sqrt{5}} \left( {\left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)} ^ {n-1} - {\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)} ^ {n-1} \right) \end{array} \right)}
これは固有値が異なるパターン. フィボナッチ数列が出てくる行列として有名ですね.

まとめ

一般式, 驚くほど簡単に求められるんですね. 久しぶりにこういう高校生っぽいことやるのも, なかなか楽しいですね.